Correzione compito in classe

classe IV, marzo 2004

Un rettangolo ABCD ha i vertici A e B che scorrono scorrono ciascuno lungo un lato di un angolo retto, come ad esempio un foglio di cui un lato ha gli estremi mantenuti sul bordo del banco. Scrivere le equazioni parametriche del luogo descritto dal centro del rettangolo. Scrivere le equazioni parametriche e le equazioni cartesiane del luogo descritto da uno dei vertici C o D.

Indicato con α l'ampiezza dell'angolo ABO, indicati con a e b le lunghezze rispettivamente del segmento AB e BC, preso come riferimento cartesiano l'angolo retto su cui A e B scorrono, il vertice D ha coordinate:
( a·sin(α)+b·cos(α), b·sin(α) )
Quindi il centro del rettangolo, come punto medio di BD, ha coordinate: ( (a·sin(α)+b·cos(α))/2, (a·cos(α)+b·sin(α))/2 )
Al variare di α abbiamo in entrambi i casi le equazioni parametriche del luogo descritto da quei punti: 
x = a·sin(α)+b·cos(α)              x = (a·sin(α)+b·cos(α))/2
y = b·sin(α)                       y = (a·cos(α)+b·sin(α))/2
Tali equazioni possono essere scritte anche nella forma 
x = A·sin(α+φ)              x = A/2·sin(α + φ)
y = b·sin(α)                y = A/2·cos(α – φ)
in entrambi i casi si tratta di curve di Lissajoux che si riducono a ellissi. L' equazione cartesiana di D si ottiene sostituendo sin(α)=y/b e quindi
x = a·y/b + b·Ö(1 – (y/b)2)
ovvero: 
x – a·y/b > 0
b²x² – 2ab·xy + (a²+b²)y² – b²=0
Poiché a²b² – b²(a²+b²) < 0, l'equazione della conica è quella di un'ellisse.